Математические игрыЗадача 1. Двое по очереди берут из кучи
камни. Разрешается брать любую степень
двойки (1, 2, 4...). Взявший последний камень выигрывает. Кто победит в этой
игре? Решения и
ответы. 1. Если
исходное число камней делится на 3, то
выигрывает второй, беря каждый раз по 1 или 2 камня и оставляя число
камней, которое делится на 3. 
Задача 2. В куче 1997 камней, которые
двое берут по очереди. Разрешается взять 1, 10 или 11 камней. Выигрывает
взявший последний камень. Кто должен победить? Решения и ответы. 2.
Первый. Начнём с конца. Выигрывающие остатки камней: 0, 2, 4, 6, 8; 20, 22, 24, 26, 28; ...; 1980,
1982, 1984, 1986, 1988 . Первым ходом первый игрок берёт 11
камней. 
Задача 3. Изменим условие предыдущей задачи: взявший последний камень проигрывает.
Кто теперь победит?
Решения и ответы.
3. Победит
снова первый. Выигрывающие остатки камней: 1, 3, 5,
7, 9; 21, 23, 25, 27, 29; ...; 1981, 1983, 1985,
1987, 1989. Первый сначала берёт 10 камней.
Задача 4. Двое
по очереди берут камни из двух куч. За один ход
можно взять: а) любое число
камней из одной кучи или б) из обеих куч поровну. Взявший последним выигрывает.
Кто должен выиграть? Решения и ответы. 4. Сначала рассмотрим пример
игры. Пусть первоначальное значение камней в кучах - 1000 и 18.
Будем записывать остаток камней в
каждой куче после каждого хода: (11, 18), (5, 12), (5, 3), (1, 3), (1, 2), (1,
1), (0, 0). Набор (1, 2), который обеспечил первому игроку победу, назовём
выигрывающим. Разность между числами равна d=2-1=1. Найдём предыдущую выигрывающую
комбинацию: взяв разность d=2, видим, что первым числом должно быть такое, какое еще не встречалось в выигрывающих
комбинациях (т.е. 3), а второе-сумма первого и d (т.е. 5). По этому же принципу получим и
следующие выигрывающие комбинации: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11 ...; a
= 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17,…; b = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23,
26, 28 ...
Ответ: Если начальная расстановка не является
выигрывающей комбинацией, то первый игрок ставит выигрывающий набор и побеждает. Если начальная расстановка - выигрывающая
комбинация, то побеждает второй.
Задача 5. В трёх кучах лежат 1997,
1998 и 1999 камней. Играют двое. За один ход разрешается убрать две кучи, а
третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит-первый или второй игрок? Решения и ответы. 5.Выигрывает первый. Стратегия выигрыша проста:
надо добиваться, чтобы некоторых новых кучах число камней оканчивалось
цифрами 3 или
4, а в остальных новых кучах - не
превышало 4. Например, кучу из 1999 камней
можно разделить на такие три: 563, 663,
773 или 2, 3, 1994 и т. д. Легко видеть, что противник не может воспользоваться
той же стратегией. Через несколько ходов первый игрок предложит
3 кучи: в одной куче 4 камня, в двух других - не более, чем по 4. Второй игрок может сделать ход, а следующий
ход уже невозможен. |
